Siempre existen los buscadores de respuestas ocultas a problemas ya resueltos. Para resolver el problema matemático más antiguo, un científico tuvo que ser muy ingenioso. La nueva resolución fortalece la ubicuidad de representar números enteros como sumas de fracciones.
Esta nueva respuesta resuelve una pregunta con raíces que se remontan al antiguo Egipto. Algunos expertos dicen que podría tratarse del problema más antiguo de nuestra historia.
¿De qué se trata este problema matemático considerado el más antiguo de todos?
La pregunta involucra fracciones que cuentan con un 1 en su numerador, como 1/2, 1/7, o 1/122. A estas fracciones se las llama unitarias y eran importantes para los antiguos egipcios porque eran los únicos tipos de fracciones que contenía su sistema numérico. Siempre existe una excepción y esta involucraba un símbolo para 2/3 , para expresar fracciones más complicadas ( como 3/4) como sumas de fracciones unitarias (1/2 + 1/4).
Desde la década de 1970, el interés por estas sumas fue aumentando. Tal es así que los matemáticos Paul Erdős y Ronald Graham se preguntaron qué tan difícil sería crear conjuntos de números enteros que no contengan un subconjunto cuyos recíprocos suman 1.
Fue entonces que Erdős y Graham conjeturaron que cualquier conjunto que muestre una proporción positiva suficientemente grande de los números enteros (podría ser 20 por ciento, 1 por ciento o 0,001 por ciento) debe contener un subconjunto cuyos recíprocos suman 1.
Aquí aparece Thomas Bloom, quien pudo resolver una pregunta de una manera muy creativa. Lo logró después de una tarea que le había designado que consistía en presentar un artículo para un grupo de lectura de Oxford.
En este artículo, Bloom debió leer el artículo del matemático Ernie Croot. Este había resuelto la versión con colores del problema elaborada por Erdős-Graham. En esta nueva versión, los números enteros se ordenan al azar en diferentes cubos designados por colores. Algunos de esos número van en el cubo azul, otros en el rojo, y así sucesivamente.
Erdős y Graham predijeron que no importa cuántos cubos diferentes se utilicen en esta clasificación, al menos un cubo debe contener un subconjunto de números enteros cuyos recíprocos sumen 1.
El matemático Croot introdujo métodos nuevos a partir de un análisis del tipo armónico para confirmar la predicción de Erdős-Graham. Su artículo fue publicado en una de las revistas más prestigiosas en el campo de las matemáticas: Annals of Mathematics. A pesar de que Croot haya sido muy ingenioso, no pudo responder a la conjetura de Erdős-Graham.
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Los aportes de Bloom
Dos décadas más tarde, tras leer analíticamente el artículo de Croot, Bloom se dio cuenta de que podía sacar aún más provecho a las técnicas que Croot había introducido. Resolver el problema matemático más antiguo del mundo le llevó solo algunas semanas.
Según explica Bloom, Croot se había basado en un tipo de integral de suma exponencial. En esta suma lo que se intenta es detectar cuántas soluciones enteras puede llegar a tener un problema. En este caso, cuántos subconjuntos contienen una suma de fracciones unitarias que den 1 como resultado. El problema que se presenta aquí es que casi siempre es imposible resolver exactamente estas sumas exponenciales.
Croot resolvió la integral de forma aproximada. Sin embargo, Bloom adaptó la estrategia de Croot para que funcionara con números con grandes factores primos. Esto requería superar una serie de obstáculos que hacían más difícil probar que la suma exponencial era mayor que cero. En este punto, la conjetura de Erdős-Graham sería cierta.
Tanto Croot como Bloom dividieron la integral en partes y demostraron que un término principal era grande y positivo, y que todos los demás términos eran demasiado pequeños para hacer una diferencia significativa.
Croot había descartado los números enteros con factores primos grandes para demostrar que esos términos eran lo suficientemente pequeños. Mientras que el método de Bloom le dio un mejor control sobre esas partes de la suma exponencial. Como resultado, Bloom demostró que había relativamente pocos lugares donde eso sucedía.
En lugar de usar este método para buscar conjuntos de números cuyos recíprocos sumen 1, Bloom lo empleó para encontrar conjuntos con recíprocos que sumen fracciones constituyentes más pequeñas. Luego los usó como bloques de construcción para llegar al resultado deseado.
Otros matemáticos resaltaron la labor de Bloom, y consideraron al resultado obtenido en el problema como sobresaliente. Con su ingenio, Bloom resolvió un viejo problema con una nueva perspectiva y con formas más eficientes de hacer las cosas.
Referencias:
Math’s ‘Oldest Problem Ever’ Gets a New Answer: https://www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/